كيفية حل الطاقة من مشكلة الطول الموجي

الطول الموجي ، هو مسافة ذروة موجة تردد واحدة إلى الأخرى ، ويرتبط غالبًا بالطيف الكهرومغناطيسي ، ويعتمد حساب الطول الموجي على المعلومات التي تحصل عليها ، فإذا كنت تعرف سرعة وتكرار الموجة ، يمكنك استخدام الصيغة الأساسية لطول الموجة.

وإذا كنت ترغب في تحديد الطول الموجي للضوء ، بالنظر إلى الطاقة المحددة للفوتون ، فستستخدم معادلة الطاقة ، وحساب الطول الموجي سهل طالما أنك تعرف المعادلة الصحيحة. [1]

حل الطاقة من مشكلة الطول الموجي

توضح مشكلة المثال هذه كيفية العثور على طاقة الفوتون من طول موجته.

طاقة شعاع الليزر

يبلغ طول الموجة الحمراء من ليزر نيليوم نيون 633 نانومتر ، ولمعرفة طاقة الفوتون الواحد ، ستحتاج إلى استخدام معادلتين لحل هذه المشكلة:

1- المعادلة الأولى معادلة بلانك

تأتي معادلة محول الطول الموجي من والد نظرية الكم ، الفيزيائي الألماني ماكس بلانك ، حوالي عام 1900 م ، وقدم فكرة الكم أثناء دراسة الإشعاع المنبعث من جسم أسود ، وهو جسم يمتص كل الإشعاع الحادث ، وساعد الكم على تفسير سبب انبعاث هذا الجسم للإشعاع في الغالب في منتصف الطيف الكهرومغناطيسي ، بدلاً من ذلك في الأشعة فوق البنفسجية كما تنبأت به النظرية الكلاسيكية.

افترض تفسير بلانك أن الضوء يتكون من حزم منفصلة من الطاقة تسمى الكم ، أو الفوتونات ، وأن الطاقة يمكن أن تأخذ فقط قيمًا منفصلة ، والتي كانت مضاعفات ثابت عالمي ، الثابت ، المسمى ثابت بلانك ، يتم تمثيله بالحرف h ، وله قيمة 6.63 × 10-34 م 2 كجم / ثانية ، أو ما يعادل 6.63 × 10-34 جول.[2]

وأوضح بلانك أن طاقة الفوتون ، E ، هي نتاج تردده ، والذي يتم تمثيله دائمًا بالحرف اليوناني nu (ν) وهذا الثابت الجديد. من الناحية الرياضية: .E = hν.

بما أن الضوء هو ظاهرة موجية ، يمكنك التعبير عن معادلة بلانك من حيث الطول الموجي ، ممثلة بالحرف اليوناني لامدا (λ) ، لأنه بالنسبة لأي موجة ، فإن سرعة الإرسال تساوي ضرب ترددها في الطول الموجي. نظرًا لأن سرعة الضوء ثابتة ، يُشار إليها بـ c ، يمكن التعبير عن معادلة بلانك على النحو التالي:
E = hcλ E = frac {hc} {λ} E = λhc

و معادلة بلانك ، التي اقترحها ماكس بلانك ، لوصف كيفية نقل الطاقة في الكميات أو الحزم ، ومعادلة بلانك تجعل من الممكن فهم إشعاع الجسم الأسود ، والتأثير الكهروضوئي ، والمعادلة هي :

E = hν
E = الطاقة
h = ثابت بلانك = 6.626 × 10-34 J·s
ν =  التردد

2- المعادلة الثانية معادلة الموجة

تمنحك إعادة الترتيب البسيطة لمعادلة بلانك آلة حاسبة فورية لطول الموجة لأي إشعاع ، بافتراض أنك تعرف طاقة الإشعاع. صيغة الطول الموجي هي:
λ = Ehc
كل من h و c ثوابت ، لذلك ينص الطول الموجي لمعادلة تحويل الطاقة بشكل أساسي على أن الطول الموجي يتناسب مع عكس الطاقة. وبعبارة أخرى ، فإن الإشعاع طويل الموجة ، وهو الضوء باتجاه الطرف الأحمر من الطيف ، لديه طاقة أقل من ضوء الطول الموجي القصير على الطرف البنفسجي للطيف.[3]

والمعادلة الثانية التي تصف سرعة الضوء من حيث الطول الموجي والتردد ، ويمكنك استخدام هذه المعادلة لحل التردد لتوصيل المعادلة الأولى ، و معادلة الموجة هي :

c  =   λν
c = سرعة الضوء = 3 × 108 م / ثانية
λ = الطول الموجي
ν = التردد

إعادة ترتيب المعادلة لحل التردد:

ν = c/λ

بعد ذلك ، استبدل التردد في المعادلة الأولى بـ c / λ للحصول على صيغة يمكنك استخدامها :
E = hν
E = hc/λ

بمعنى آخر ، تتناسب طاقة الصورة بشكل مباشر ، مع ترددها وتتناسب عكسياً مع طول موجتها ، كل ما تبقى هو توصيل القيم والحصول على الإجابة :

E = 6.626 x 10-34 J·s x 3 x 108 m/sec/ (633 nm x 10-9 m/1 nm)
E = 1.988 x 10-25 J·m/6.33 x 10-7 m E = 3.14 x -19 J

الإجابة: تبلغ طاقة فوتون واحد من الضوء الأحمر ، من ليزر نيليوم نيون 3.14 × 19 ج.

حافظ على استقامة وحداتك

يقيس الفيزيائيون الطاقة الكمية في مجموعة متنوعة من الوحدات ، في نظام SI ، فإن وحدات الطاقة الأكثر شيوعًا هي الجولات ، ولكنها أكبر من اللازم للعمليات التي تحدث على المستوى الكمي ، والإلكترون فولت (eV) هو وحدة أكثر ملاءمة ، وإنها الطاقة المطلوبة لتسريع إلكترون واحد من خلال فرق جهد 1 فولت ، وهي تساوي 1.6 × 10-19 جول.

والوحدات الأكثر شيوعًا لطول الموجة هي ångstroms (Å) ، حيث 1 Å = 10-10 م ، وإذا كنت تعرف طاقة الكم في الإلكترون فولت ، فإن أسهل طريقة للحصول على الطول الموجي في ångstroms ، أو متر هي تحويل الطاقة أولاً إلى جول ، كما يمكنك بعد ذلك توصيله مباشرة بمعادلة بلانك ، وباستخدام 6.63 × 10-34 م 2 كجم / ثانية لثابت بلانك (ح) و 3 × 108 م / ث لسرعة الضوء (ج) ، يمكنك حساب الطول الموجي.

طاقة مول واحد من الفوتونات

في حين أظهر المثال الأول كيفية العثور على طاقة فوتون واحد ، يمكن استخدام نفس الطريقة للعثور على طاقة مول من الفوتونات ، وفي الأساس ، ما تفعله هو العثور على طاقة فوتون واحد ، وضربها في رقم Avogadro.

ينبعث مصدر الضوء من الإشعاع بطول موجة 500.0 نانومتر ، أوجد طاقة مول واحد من الفوتونات ، لهذا الإشعاع والتعبير عن الإجابة بوحدات كيلوجول.

من الطبيعي أن تحتاج إلى إجراء تحويل وحدة على قيمة الطول الموجي ، من أجل جعلها تعمل في المعادلة ، أولاً ، قم بتحويل nm إلى m. Nano- هو 10-9 ، لذا كل ما عليك فعله هو تحريك العلامة العشرية على 9 نقاط أو القسمة على 109.
500.0 نانومتر = 500.0 × 10-9 م = 5.000 × 10-7 م
القيمة الأخيرة هي الطول الموجي ، المعبر عنه باستخدام الرموز العلمية ، والعدد الصحيح للأرقام المهمة ، وتذكر كيف تم الجمع بين معادلة بلانك ، ومعادلة الموجة لإعطاء :
E = hc / λ
E = (6.626 x 10^-34 J·s) (3.000 x 10⁸ m/s) / (5.000 x 10^-17 m)
E = 3.9756 x 10^-19 J
ومع ذلك ، هذه هي طاقة فوتون واحد ، اضرب القيمة في رقم Avogadro لطاقة مول من الفوتونات :
طاقة مول من الفوتونات = (طاقة فوتون واحد) x (رقم Avogadro).
طاقة مول من الفوتونات = (3.9756 × 10-19 جول) (6.022 × 1023 مول -1)
ملاحظة : (اضرب الأعداد العشرية ، ثم اطرح مقام الأس من البسط للحصول على قوة 10)

الطاقة = 2.394 × 105 جول / مول
بالنسبة ل مول واحد ، تكون الطاقة 2.394 × 105 جول.
لاحظ كيف تحتفظ القيمة بالعدد الصحيح للأرقام المهمة. لا يزال يحتاج إلى تحويل من J إلى kJ للإجابة النهائية :

الطاقة = (2.394 × 105 جول) (1 كيلوجول / 1000 جول)
الطاقة = 2.394 × 102 كيلوجول أو 239.4 كيلوجول
وتذكر ، إذا كنت بحاجة إلى إجراء تحويلات وحدة إضافية ، فراقب أرقامك المهمة.[4]

مثال آخر على مشكلة الطول الموجي والطاقة

التساؤل : يحتاج العصب البصري للعين البشرية إلى 2 × 10-17 جول من الطاقة ، لتحفيز سلسلة من النبضات للإشارة إلى الدماغ ، هناك شيء يمكن رؤيته ، فكم عدد الفوتونات المطلوبة للضوء الأزرق 475 نانومتر، لتشغيل هذه الاستجابة ؟
الحل : يتم إعطاؤنا كمية الطاقة اللازمة لتحفيز العصب البصري وطول موجة الضوء.
أولاً سنكتشف مقدار الطاقة في فوتون واحد من الضوء الأزرق ،  نحن نعطي الطول الموجي 475 نانومتر ، وقبل المضي قدمًا ، دعنا نحول هذا إلى أمتار.

1 نانومتر = 10-9 م ، وباستخدام هذه العلاقة ، حول 475 نانومتر إلى متر.
س م = 4.75 × 10-7 م
الآن يمكننا استخدام صيغة الطاقة من فوق E = hc / λ ، ثم قم بتوصيل المتغيرات :

E = (6.626 x 10-34 m2kg/s)(3 x 108 m/s) / 4.75 x 10-7 m
حل من أجل E
E = 4.18 x 10^-19 J
وهذه هي طاقة فوتون واحد من الضوء الأزرق 475 نانومتر ، حيث نحتاج إلى 2 × 10-17 جولًا من الطاقة لبدء العملية.

X الفوتونات = 2 × 10-17 ج.
1 فوتون = 4.18 × 10-19 جول.

قسّم معادلة إلى أخرى لتحصل عليها
نسبة الفوتون
حل ل x
X = 47.8 الفوتون.

ونظرًا لأنه لا يمكنك امتلاك فوتونات جزئية ، نحتاج إلى تقريب هذه الإجابة إلى أقرب عدد للفوتونات بالكامل ، حيث  47 الفوتون لا يكفي ، لذلك هناك حاجة إلى واحد آخر للحصول على طاقة عتبة.
X = 48 الفوتون.
الجواب: يستغرق 48 الفوتون من الضوء الأزرق 475 نانومتر لتشغيل العصب البصري.